Matemáticos resolvem 'conjecturas gêmeas primárias' – em um universo alternativo


Os matemáticos descobriram uma grande e nova evidência para uma das idéias não comprovadas mais famosas da matemática, conhecidas como conjecturas primárias gêmeas. Mas o caminho que eles seguiram para encontrar essas evidências provavelmente não ajudará a provar a própria conjectura de gêmeos primos.

A conjectura dos gêmeos primos é sobre como e quando os números primos – números que são divisíveis apenas por si mesmos e 1 – aparecem na linha numérica. "Primos gêmeos" são primos que estão a dois passos um do outro nessa linha: 3 e 5, 5 e 7, 29 e 31, 137 e 139 e assim por diante. A conjectura de gêmeos primos afirma que existem infinitos primos gêmeos e que você continuará a encontrá-los, não importa a que distância esteja a linha numérica. Ele também afirma que existem infinitamente muitos pares primos com todos os outros intervalos possíveis entre eles (pares primos separados por quatro etapas, oito etapas, 200.000 etapas etc.). Os matemáticos têm certeza de que isso é verdade. Com certeza parece que é verdade. E se não fosse verdade, isso significaria que os números primos não são tão aleatórios quanto todos pensavam, o que atrapalharia muitas idéias sobre como os números funcionam em geral. Mas ninguém jamais foi capaz de provar isso.

Palavras-chave: Matemáticos estão mais perto de resolver um problema de matemática de "milhões de dólares"

Eles podem estar mais próximos agora do que nunca, no entanto. Em um artigo publicado em 12 de agosto na revista de pré-impressão arXiv, como Quanta relatou pela primeira vez, dois matemáticos provaram que a conjectura de gêmeos primos é verdadeira – pelo menos em uma espécie de universo alternativo.

É isso que os matemáticos fazem: trabalhar em direção a grandes provas, provando idéias menores ao longo do caminho. Às vezes, as lições aprendidas com essas provas menores podem ajudar com a prova maior.

Nesse caso, os matemáticos Will Sawin, da Universidade de Columbia, e Mark Shusterman, da Universidade de Wisconsin, provaram uma versão da conjectura primária dupla para o universo alternativo de "campos finitos": sistemas numéricos que não chegam ao infinito como a linha numérica, mas, em vez disso, volta a si mesmos.

Você provavelmente encontra um campo finito todos os dias no mostrador de um relógio. Vai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e volta ao redor para 1. Nesse campo finito, 3 + 3 ainda é igual a 6. Mas 3 + 11 = 2.

Campos finitos têm polinômios, ou expressões como "4x" ou "3x + 17x ^ 2-4", disse Sawin à Live Science, assim como os números regulares. Os matemáticos, ele disse, aprenderam que os polinômios sobre campos finitos se comportam muito como números inteiros – os números inteiros na linha numérica. As declarações verdadeiras sobre números inteiros também tendem a confiar em polinômios sobre campos finitos e vice-versa. E assim como os números primos vêm em pares, os polinômios vêm em pares. Por exemplo, os gêmeos de 3x + 17x ^ 2-4 são 3x + 17x ^ 2-2 e 3x + 17x ^ 2-6. E o bom dos polinômios, disse Sawin, é que, diferentemente dos números inteiros, quando você os plota em um gráfico, eles fazem formas geométricas. Por exemplo, 2x + 1 cria um gráfico parecido com este:

(Crédito de imagem: Google)

E 5x + x ^ 2 cria um gráfico parecido com este:

(Crédito de imagem: Google)

Como os polinômios mapeiam formas, em vez dos pontos que você obtém ao representar números primos individuais, é possível usar a geometria para provar coisas sobre polinômios que você não pode provar sobre números simples.

"Não fomos as primeiras pessoas a perceber que você pode usar a geometria para entender campos finitos", disse Shusterman à Live Science.

Outros pesquisadores provaram versões menores da hipótese dos primos gêmeos sobre certos tipos de polinômios em campos finitos. Mas a prova de Sawin e Shusterman exigia que os pesquisadores voltassem e partissem do zero em muitos aspectos, disse Sawin.

"Tivemos uma observação que nos permitiu executar um truque … que tornou a geometria muito mais agradável e se aplica a todos esses casos", disse Shusterman.

Esse truque geométrico, disse ele, levou à descoberta: provar que esta versão especial da conjectura de gêmeos primos é verdadeira para todos os polinômios sobre campos finitos, não apenas para alguns deles.

A má notícia, segundo Sawin, é que, como o truque deles depende muito da geometria, provavelmente não será possível usá-lo para provar a própria conjectura de gêmeos primos. A matemática subjacente é simplesmente muito diferente.

Ainda assim, disse Shusterman, provar que o caso de campos finitos é uma grande e nova evidência a ser acrescentada, provocando matemáticos com a possibilidade de que a prova de que todos estão esperando esteja lá fora em algum lugar.

É como se eles quisessem ver o topo de uma montanha alta e íngreme e, em vez disso, subissem uma montanha diferente nas proximidades. Eles quase conseguem ver o pico distante, mas está envolto em nuvens. E a rota que eles tomaram para chegar ao topo da segunda montanha provavelmente não funcionará na montanha em que realmente estão interessados.

Shusterman disse que espera continuar trabalhando com Sawin no problema dos primos gêmeos, e que é sempre possível que algo que eles aprenderam ao fazer essa prova acabe sendo importante para provar a conjectura dos gêmeos primos, afinal.

Publicado originalmente em Ciência ao vivo.

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(Crédito da imagem: Future plc)